[C] 2108번: 통계학
문제
https://www.acmicpc.net/problem/2108
수를 처리하는 것은 통계학에서 상당히 중요한 일이다. 통계학에서 N개의 수를 대표하는 기본 통계값에는 다음과 같은 것들이 있다. 단, N은 홀수라고 가정하자.
- 산술평균 : N개의 수들의 합을 N으로 나눈 값
- 중앙값 : N개의 수들을 증가하는 순서로 나열했을 경우 그 중앙에 위치하는 값
- 최빈값 : N개의 수들 중 가장 많이 나타나는 값
- 범위 : N개의 수들 중 최댓값과 최솟값의 차이 N개의 수가 주어졌을 때, 네 가지 기본 통계값을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 수의 개수 N(1 ≤ N ≤ 500,000)이 주어진다. 단, N은 홀수이다. 그 다음 N개의 줄에는 정수들이 주어진다. 입력되는 정수의 절댓값은 4,000을 넘지 않는다.
출력
첫째 줄에는 산술평균을 출력한다. 소수점 이하 첫째 자리에서 반올림한 값을 출력한다.
둘째 줄에는 중앙값을 출력한다.
셋째 줄에는 최빈값을 출력한다. 여러 개 있을 때에는 최빈값 중 두 번째로 작은 값을 출력한다.
넷째 줄에는 범위를 출력한다.
풀이
이 문제는 정렬로도 풀 수 있고, 빈도 배열로도 풀 수 있습니다.
먼저 정렬을 사용하는 방법을 생각해 보면,
- 중앙값은 정렬된 배열의 가운데 값
- 범위는 최댓값 - 최솟값
- 최빈값은 정렬된 배열을 순회하며 같은 값이 몇 번 나오는지 세어서 구할 수 있습니다
즉, 구현 자체는 직관적입니다.
하지만 입력 크기가 최대 500,000이므로 정렬을 사용하면 시간복잡도는
이 됩니다.
그런데 이 문제는 중요한 특징이 하나 있습니다.
입력되는 정수의 범위가 -4000 ~ 4000으로 매우 작습니다.
즉, 가능한 값은 총
개뿐입니다.
이 경우 정렬 대신 빈도 배열을 사용하는 것이 더 효율적입니다.
배열 freq[8001]을 만들고, 값 x를 x + 4000 위치에 저장하면 각 숫자가 몇 번 등장했는지 바로 셀 수 있습니다.
예를 들면
-4000→freq[0]0→freq[4000]4000→freq[8000]
처럼 대응됩니다.
이 방법을 사용하면 다음과 같이 구할 수 있습니다.
1. 산술평균
입력받으면서 합을 구한 뒤, 마지막에 N으로 나누고 반올림하면 됩니다.
2. 중앙값
빈도 배열을 앞에서부터 누적하면서 개수를 더해 갑니다.
누적 개수가 처음으로 N / 2를 넘는 위치가 중앙값입니다.
3. 최빈값
먼저 가장 큰 빈도 max_freq를 찾습니다.
그다음 다시 앞에서부터 탐색하면서 max_freq와 같은 값을 찾습니다.
- 첫 번째 값은 일단 저장
- 두 번째 값이 나오면 그 값을 정답으로 사용
이렇게 하면 최빈값이 여러 개일 때 두 번째로 작은 값을 구할 수 있습니다.
4. 범위
입력받는 동안 최솟값과 최댓값을 갱신해 두고, 마지막에 max - min을 출력하면 됩니다.
정리하면,
- 정렬 풀이:
O(N \log N) - 빈도 배열 풀이:
O(N + 8001)
이고, 8001은 고정된 상수이므로 전체 시간복잡도는
입니다.
따라서 이 문제는 정렬보다 빈도 배열을 사용하는 풀이가 더 적합합니다.
코드
#include <math.h>#include <stdio.h>
int main() { int n; scanf("%d", &n);
int freq[8001] = {0}; int sum = 0; int min = 4001; int max = -4001;
for (int i = 0; i < n; i++) { int x; scanf("%d", &x);
freq[x + 4000]++; sum += x;
if (x < min) min = x; if (x > max) max = x; }
// 1. 산술평균 int avg = (int)round((double)sum / n);
// 2. 중앙값 int count = 0; int mid = 0; for (int i = 0; i < 8001; i++) { count += freq[i]; if (count > n / 2) { mid = i - 4000; break; } }
// 3. 최빈값 int max_freq = 0; for (int i = 0; i < 8001; i++) { if (freq[i] > max_freq) { max_freq = freq[i]; } }
int mod = 0; int found = 0; for (int i = 0; i < 8001; i++) { if (freq[i] == max_freq) { mod = i - 4000; found++; if (found == 2) { break; } } }
// 4. 범위 int range = max - min;
printf("%d\n%d\n%d\n%d\n", avg, mid, mod, range);
return 0;}